El efecto de la diversificación en la volatilidad de una cartera

 

En los últimos post he tratado de explicar la importancia de la volatilidad en la gestión de carteras (ver aquí). Es una herramienta de análisis de fácil cálculo (desviación típica de los rendimientos) e interpretación (cuanto mayor sea, más riesgo estamos asumiendo). Gestionar carteras consiste en gestionar volatilidad: aumentarla será una estrategia acertada si los mercados se revalorizan, pero incorrecta si corrigen (recuerde la simetría especular). Una correcta gestión de carteras exige adecuar la volatilidad al perfil de riesgo, al horizonte temporal, a las perspectivas para los mercados financieros y a la situación de los mercados (a su propia volatilidad).

Hoy quiero dar un paso más y hablar de la diversificación, otra de las esas potentes palancas para la gestión. Diversificar consiste en incorporar activos sí, pero que no estén alta y positivamente correlacionados. Porque para mitigar el riesgo de nada sirve incorporar muchos activos si todos ellos se mueven siempre en el mismo sentido (“Tengo una cartera muy diversifica, ya que tengo 30 títulos del Ibex 35 o los 25 principales bancos del mundo”).

De forma análoga al caso de los indicadores de riesgo, recurrimos a estadísticos básicos para medir, tanto en términos absolutos como relativos en qué grado dos activos, o dos mercados, se mueven en una misma dirección. Se trata de la covarianza y del coeficiente de correlación, entre los que existe una relación directa (la correlación es el resultado de dividir covarianza entre el producto de las desviaciones típicas).

La volatilidad de una cartera depende de la de los títulos que la componen (riesgo individual de cada uno de ellos), pero también de sus covarianzas (riesgo conjunto, tomando pares de títulos) además, claro, del peso de cada título en la cartera. Matemáticamente:

Varianza de una cartera de n títulos

Y para el caso de una cartera con dos activos, y expresando el riesgo a partir de la desviación típica en lugar de la varianza, la fórmula es la siguiente:

Volatilidad de una cartera de dos títulos (usando la covarianza)

 

Y, por último, si en lugar de usar la covarianza preferimos usar la correlación, la fórmula se transforma en:

 

Volatilidad de una cartera de dos títulos (usando el coeficiente de correlación)

 

Recuérdese que

 

Así pues, comprobamos el efecto que tiene la correlación en la reducción de la volatilidad de la cartera. Y es que el riesgo de una cartera siempre es menor o igual que la media ponderada de los riesgos de los activos que la componen. La diversificación reduce el riesgo y lo hace en mayor medida cuanto menor es la correlación entre los activos:

  • correlación = -1 reducción máxima
  • correlación = 0 reducción media
  • correlación = 1 no hay reducción

 

Veámoslo con ejemplos.

Ejemplo 1. Los activos A y B tienen una volatilidad (desviación estándar) del 12% y del 23%, respectivamente y su correlación es -1. ¿Cuál sería la volatilidad de una cartera compuesta en un 50% por el activo A y el otro 50% por el activo B?

En este caso, la cartera tendría una volatilidad del 5,5%, es decir, muy por debajo del 12% o del 23% de cada uno de los activos. Y eso es gracias a la correlación negativa que presentan. Dejo para el lector el cálculo de la volatilidad si la correlación es -0,5, 0, 0,5 o 1,0, aunque sí le doy la respuesta: 10,0%, 13,0%, 15,4% y 17,5%.

 

Ejemplo 2. De nuevo, dos activos, A y B, con volatilidad 3,0% y 7,0%. ¿Cuál es la volatilidad de la cartera dependiendo de la correlación? Los resultados se muestran en la siguiente tabla.

Volatilidad de una cartera de dos activos en función del peso de cada uno y de la correlación entre los dos

 

Si la correlación es 1 (primera columna), la volatilidad será la combinación lineal en función del peso de cada activo en la cartera. Si la cartera está compuesta al 50%/50% (tercera línea), entonces la volatilidad será el 5,0% (la media). La volatilidad será más alta (baja) si pesa más (menos) el activo más volátil (nos estamos moviendo hacia abajo o hacia arriba en la primera columna). Quedémonos en la línea del 50%/50% (volatilidad 5,0%) y comprobemos el efecto de la descorrelación (nos movemos hacia la derecha) e, incluso, la correlación negativa (última columna). Comprobamos cómo la volatilidad de la cartera va cayendo hasta situarse en 2,0% (desde el 5,0% inicial).

¿Y qué impacto tiene en términos de rentabilidad? Para ello, necesitamos saber la expectativa de rentabilidad de cada activo. Supongamos que la de A es el 2,0% y la de B el 5,0%. En este caso, como es sabido, la expectativa de rentabilidad de la cartera es el resultado de sumar los productos de los pesos individuales por las expectativas de rentabilidad individuales. Los resultados, en la siguiente tabla.

Rentabilidad esperada de una cartera de dos activos en función del peso de cada uno y de la correlación entre los dos

Se comprueba que la expectativa de rentabilidad solo está condicionada por el peso de cada activo y no por la correlación de cada uno. Así pues, si la rentabilidad es la misma pero conseguimos reducir la volatilidad, la recomendación está clara: ¡diversifique! En la tabla siguiente se recogen los ratios de Sharpe, pudiéndose comprobar la utilidad de desplazarse hacia la derecha.

Ratio de Sharpe en función del peso de los activos y de la correlación

 

Cálculo de la volatilidad para una cartera de 3 activos.

Supongamos ahora el caso de una cartera que cuenta con 3 activos. Aplicando la ecuación general, llegamos a que se calcula siguiendo esta fórmula:

Volatilidad de una cartera de tres títulos (usando el coeficiente de correlación)

Cálculo de la volatilidad para una cartera de n activos.

Comprobamos cómo a medida que se va incrementando el número de activos se eleva la cuantía cálculos necesarios. Así, si en una cartera de 2 activos había que calcular una sola covarianza (o correlación), en la de 3 activos hay que calcular 3 datos (ecuación anterior), en una de 4 el número se eleva a 6, en una con 5 activos son necesarios 10, etc. En definitiva, el número de covarianzas requerido es la combinatoria del número de componentes de la cartera (n) tomados de 2 en 2:

Número de covarianzas necesarias para una cartera de n activos

De esta forma, surge la necesidad de contar con la denominada “matriz de varianzas y covarianzas”. En la diagonal principal aparecen las varianzas y el resto, las covarianzas (obviamente, es una matriz simétrica). De nuevo, con un ejemplo puede quedar más claro. Supongamos una cartera compuesta por 5 activos (cada uno pesa un 20%), cuya evolución diaria es la siguiente:

 

Rendimientos diarios de cada activo y de la cartera

 

En la última línea se mide la volatilidad de cada activo, así como del total de la cartera.

Comprobamos el grado de correlación de los activos (alta entre el 1 y el 3 y baja entre el 2 y el 5).

Matriz de correlaciones

El siguiente paso es calcular la matriz cuya diagonal principal son las varianzas (se puede comprobar que el activo 4 es el más volátil) y el resto de datos son las covarianzas (es una matriz simétrica).

Matriz de varianzas y covarianzas

 

Aplicando la ecuación para el cálculo de la volatilidad a partir de la matriz de varianzas y covarianzas:

Tenemos que la volatilidad de la cartera es 8,92%, esto es, menor que el resultado de multiplicar el peso de cada activo (20%) por su volatilidad: 10,18%. Se comprueba el efecto de la diversificación.

@david_cano_m

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